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El descuento compuesto

Para sustituir un capital futuro por otro con vencimiento presente utilizaremos la ley financiera del descuento compuesto que no es sino la operación inversa a la capitalización compuesta.

1) Concepto

Los elementos que debemos considerar para estas operaciones son los siguientes:

Cn = Flujo Nominal o cantidad al vencimiento.

Co = Efectivo o cantidad presente.

D = Descuento total, la diferencia entre el nominal y el efectivo. 

Los intereses I.

n = El periodo de tiempo transcurrido entre el momento de efectivo y el vencimiento.

d = Tipo de descuento, es el tipo de interés anual que se aplica sobre el valor nominal, en función del plazo de la operación, para obtener el efectivo de la compra.

i = Tipo de interés anual.

Si quisiéramos por ejemplo cobrar anticipadamente un capital cuyo vencimiento se fuera a producir dentro de un número determinado de años, la cantidad que recibiríamos sería el valor actual o valor presente del mismo, ya se obtenga éste por aplicación del tipo de interés i o ya por el descuento d.

En el caso de que aplicáramos el tipo de interés i el descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Matemático Real o Racional y si aplicáramos el tanto de descuento del descuento total obtenido lo llamaremos Descuento Comercial.

2.- Descuento racional.

Llamamos así a los intereses que genera el efectivo desde su pago hasta el vencimiento del nominal. Por lo tanto el cálculo de los intereses se hará en este caso sobre el efectivo.

A modo de repaso hagamos las siguientes consideraciones: 

Los Intereses son los rendimientos que produce un Capital invertido durante un periodo de tiempo. Estos son proporcionales al volumen del Capital, a la duración o vencimiento de la inversión y al Tipo de Interés. 

La característica fundamental que define la Capitalización Simple es que los intereses que se generan a lo largo de un periodo de tiempo dado no se agregan al Capital para el cálculo de los intereses del siguiente periodo. Como consecuencia de esto los intereses generados en cada uno de los periodos iguales son también iguales.

Es decir, que la Ley de Capitalización Simple no es Acumulativa.

También sabemos que la Capitalización simple se utiliza para operaciones de corto plazo o con vencimientos cercanos, por lo general inferior a un año.

3) Cálculo del valor actual.

Si Cn = Co ( 1 + i )^n despejando el valor de Co el valor actual será:

Co = Cn ( 1 + i )^(-n)

1.2.- Cálculo del descuento.

En este caso se trata de intereses calculados sobre el efectivo teniendo en cuenta el tiempo que falta hasta su vencimiento.

El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo 

D = Cn – Co. 

Dado que ya conocemos el valor de Cn = Co ( 1 + i )^n si sustituimos nos queda:

D = Co ( 1 + i )^n – Co
D = Co [ ( 1 + i )^n - 1 ]

El valor del descuento total es igual al del valor del interés total.

Si lo que queremos es calcular el descuento total en función del valor nominal Cn teniendo en cuenta que Co = Cn / (1 + i )^n sustituimos el valor en la fórmula anterior y tenemos que:

D = (Cn / ( 1 + i )^n) [ ( 1 + i )^n - 1]
D = Cn [ 1- ( 1 + i )^-n ]

4) Descuento comercial

Llamamos descuento comercial a los intereses que genera el capital nominal desde el momento de liquidación de efectivo hasta su propio vencimiento. 

Por tanto, el cálculo de los intereses se hace sobre el nominal.

Cálculo del valor actual.

Tenemos un capital nominal Cn al que se le aplica un tipo de descuento d. 

El valor actual Co será por lo tanto:

0 ------ 1 ------ 2 ------------------------ n-2 ------ n-1 ------ n
<<<< <<<< <<<<<<<<<<<<<< <<<<<< <<<<<<<<<<<<
Co         C1          C2                                         Cn-2          Cn-1           Cn

El valor del capital disponible al final del año n es Cn

El valor del capital disponible al final del año n- 1 es:

Cn-1 = Cn - Cn * d = Cn ( 1 – d )

El valor del capital disponible al final del año n-2 es:

Cn-2 = Cn-1 - Cn-1 * d = Cn-1 ( 1 – d ) = Cn (1 -d) (1 -d)

Cn-2 = Cn-1 ( 1 - d )^2

El valor del capital disponible al final del año n-3 es:

Cn-3 = Cn-2 - Cn-2 * d = Cn-2 ( 1 – d ) = Cn ( 1 – d )^2 ( 1 – d )

Cn-3 = Cn ( 1 - d )^3

Y así, el valor del capital en el origen Co será:

Co = Cn ( 1 - d )^n

5) Cálculo del descuento.

Se trata de los intereses calculados sobre el nominal en función del tiempo que falta hasta su vencimiento. El descuento total es la diferencia entre el nominal y el efectivo D = Cn – Co. Como ya conocemos el valor de Co:

Co = Cn ( 1 – d )^n

sustituyendo

D = Cn - Cn ( 1 – d )^n

D = Cn [ 1 - ( 1 – d )^n ]
 

Cálculo del valor nominal.

También en este caso partimos de la fórmula Co = Cn (1 - d)^n y despejando el nominal Cn tenemos que

Cn = Co / ( 1 - d )^n

Cálculo del tipo de descuento.

Una vez más partiremos de la fórmula Co = Cn (1 - d)^n y despejamos d

Cálculo del tiempo.

En esta ocasión partiremos de la fórmula Co = Cn (1 - d)^n y despejamos n